Для формулы 2 на примере 2. Найти интеграл тригонометрической функции Решение. По формуле 3 на Пример 3. По формуле 4 при получаем следующее преобразование интеграла: Применяя формулу 6, получим Интеграл от произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента Рассмотрим теперь интегралы функций, которые являются произведением степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, то есть 7 В частных случаях одна из экспонент m или n может быть равна нулю.
Во время интегрирования таких функций, например, в зависимости от степени синуса и косинуса, мы можем найти интеграл от тригонометрической функции.
При интегрировании таких функций пользуются тем, что четная степень косинуса может быть выражена через синус, и дифференциал синуса равен cos x dx, или четная степень синуса может быть выражена через косинус, и дифференциал косинуса равен - sin x dx. Следует различать два случая: 1 хотя бы одна из экспонент m и n нечетная; 2 обе экспоненты четные.
Теперь, учитывая, что косинус выражается через косинус, дифференциал косинуса равен - sin x dx.
Тогда, учитывая, что подынтегральник представлен таким образом, что одна его часть является функцией только синуса, а другая - дифференциалом синуса. Этот прием можно также использовать при интегрировании частных степеней синуса и косинуса, когда хотя бы одна из экспонент нечетная.
Дело в том, что частичные мощности синуса и косинуса являются частным случаем их произведения: если тригонометрическая функция находится в знаменателе интеграла, то ее мощность отрицательна. Но есть и особые случаи тригонометрических функций, когда их степени только четные. О них мы поговорим в следующем параграфе. Если и m, и n четные, то с помощью тригонометрических формул мы уменьшаем мощности синуса и косинуса, в результате чего получается интеграл того же типа, что и выше.
Таким образом, интегрирование должно продолжаться по той же схеме. Однако если одна из четных экспонент отрицательна, т.е. мы рассматриваем квадрат четных степеней синуса и косинуса, то эта схема не подходит. Тогда используется подстановка переменной, в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральник. Такой случай будет рассмотрен в следующем разделе. Пример 4. Экспонента косинуса нечетная. Затем мы возвращаемся к старой переменной и, наконец, находим Пример 5.
Найти интеграл тригонометрической функции. Экспонента косинуса нечетная, как и в предыдущем примере, но больше. Затем получаем решение примера 6, раскрыв скобки Возврат к старой переменной. Экспоненты степени синуса и косинуса четные. Таким образом, окончательный результат получается при использовании метода подстановки Метод подстановки для интегрирования тригонометрических функций можно использовать в тех случаях, когда подынтегральник содержит только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором либо синус, либо косинус первого порядка, тангенс или котангенс, а также коэффициент четных степеней синуса и косинуса одного аргумента.
Пример 8. Подставим переменную: , тогда. Полученный интеграл легко интегрируется с помощью таблицы интегралов. Пример 9. Преобразуйте тангенс в отношение синуса и косинуса: Подставим переменную: , тогда. Полученный интеграл является табличным интегралом со знаком минус:. Возвращаясь к исходной переменной, получим:.
Пример Преобразование интеграла для применения тригонометрического тождества: Подставим переменную, не забыв поставить знак минус перед интегралом, см. выше, чему равно dt. Затем разложим интеграл на множители и проинтегрируем по таблице: Возвращаясь к исходной переменной, получаем:. Найдите интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотрите решение Универсальная тригонометрическая подстановка Универсальная тригонометрическая подстановка может быть использована в случаях, когда подынтегральник не попадает под случаи, рассмотренные в предыдущих параграфах.
В основном, когда синус или косинус или оба находятся в знаменателе дроби. Было доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла, следующим образом: Но учтите, что универсальная тригонометрическая замена часто включает в себя довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому ее лучше использовать, когда никакой другой метод не работает. Рассмотрим примеры, в которых вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются дифференциальное вычитание и метод неопределенных коэффициентов.
Используем универсальную тригонометрическую подстановку. Умножим дроби в числителе и знаменателе на , и поставим двойку перед знаком интеграла. Затем Таблица "интегралов" первого порядка. Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. Элементарные интегралы и интегралы с параметром. Формулы для интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница. Таблица "интегралов" первого порядка. Интеграл от степенной функции. Интеграл, сводящийся к интегралу от степенной функции, если под знаком дифференциала поставить x.
Интеграл от экспоненты, где a-постоянное число. Интеграл сложной экспоненциальной функции.
Конечно. И я с этим столкнулся. Можем пообщаться на эту тему.